МИНИМИЗАЦИЯ АЛГЕБРО-ЛОГИЧЕСКИХ ФОРМУЛ, СОСТОЯЩИХ ИЗ ПРОИЗВЕДЕНИЯ СКОБОК С ЛОГИЧЕСКИМИ СУММАМИ

Рыбалкина Т. И., Рязанова Е. Д. – студенты группы Э-64, Дедяев К. Е.- ассистент, Стальная М. И. – к.т.н. профессор РФ, Алтайский край, г. Барнаул ФГБОУ ВО «Алтайский государственный технических университет им. И. И. Ползунова»

Проблема большинства уравнений, составленных на основе алгебро-логи­чес­ких выражений и описывающих полупроводниковые приборы, неотъемлемой частью которых являются логические элементы, состоит в том, что они получаются сложными, поэтому такие уравнения нуждаются в минимизации. В следствии преобразования (минимизации) система автоматического управления получается более компактной, её стоимость уменьшается, а надёжность увеличивается. Исходя из выше сказанного, рассмотрим один из примеров минимизации [1].

Пусть имеется САУ, описываемая алгебро-логическим уравнением вида

                               (1)

Структурно-логическая схема на ЛЭ имеет вид, показанный на рисунке 1.

Рисунок 1 – Структурно логическая схема

В соответствии с распределительным законом получаем уравнение (2),

               (2)

учитывая, что получаем уравнение (3),

                               (3)

Выносим одинаковый множитель “а” за скобки

                       (4)

После минимизации получаем логическую схему (рисунок 2), имеющую три логических элемента вместо четырех.

Рисунок 2 – Минимизированное логическое уравнение

Если имеется алгебро-логическое уравнение, состоящее из трех скобок, например, уравнение (5),

                               (5)

Которое имеет структурно логическую схему, показанную на рисунке 3.

Рисунок 3 – Структурно логическая схема уравнения 5

В каждой скобке уравнения (5) есть повторяющийся член (в данном случае “а”), то, проделав аналогичные операции с использованием законов распределения и склеивания получаем уравнение (6)

        (6)

Структурно-логическая схема уравнения приобретает вид, которой показан на рисунке 4, он состоит из двух логических элементов.

Рисунок 4 – Структурно-логическая схема уравнения 6 после минимизации

Отсюда получаем правило.

Если дано произведение нескольких скобок, в каждой из которых имеется сумма слагаемых, одно из которых повторяется в каждой скобке, то после минимизации получается выражение, состоящее из суммы повторяющегося слагаемого и произведения всех остальных слагаемых.

Проведем алгебраические операции над уравнением, состоящим из трех скобок, в одной из которых находится сумма трех элементов

               (7)

B данном уравнении в исходном виде было использовано 5 ЛЭ (рисунок 5), а после преобразований 3 ЛЭ (рисунок 6).

Рисунок 5 – Структурно-логическая схема уравнения 7 до минимизации

Рисунок 6 – Структурно- логическая схема уравнения 7 после минимизации

Рассмотрим следующую цепочку преобразований:

                       (8)

После проведения операций над уравнением его логическая схема, состоящая из 7 ЛЭ (рисунок 7), уменьшила свой размер до 3 ЛЭ (рисунок 8).

Рисунок 7 – Структурная схема состоящие из 7 ЛЭ

Рисунок 8 – Минимизация логической схемы

Подводя итог всему вышесказанному, нужно заметить, что в процессе минимизации алгебро-логические уравнения, действительно, становятся менее сложными, что отражается на реализации в виде логической схемы. В свою очередь, это приводит к тому, что САУ становится более компактной, её надежность увеличивается, а стоимость становится на порядок меньше.

Список использованных источников:

1. Шенфилд Дж. Математическая логика [Текст] : рук. разработчика : [пер. с англ.] / И.А. Лаврова и И.А. Мальцева под ред. Ю.Л. Ершова. : Наука, 1975 – 527 с.
2. Колмогоров А. Н. Введение В Математическую Логику [Текст] : Учеб. пособие для вузов / Колмогоров А. Н. Драгалин А. Г. М. : УРСС, 2013. - 240 с. – ISBN 978-5354-01447-7
3. Никольская И. Л. Математическая логика [Текст]: учебник / И. Л. Никольская.−М.: Высш. школа, 1981.− С. 30.