МИНИМИЗАЦИЯ СУММЫ СОСТОЯЩЕЙ ИЗ НЕСКОЛЬКИХ АЛГЕБРО-ЛОГИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ

Рыбалкина Т. И., Рязанова Е. Д. – студенты группы Э-64, Дедяев К. Е.- ассистент, Стальная М. И. – к.т.н., профессор РФ, Алтайский край, г. Барнаул ФГБОУ ВО «Алтайский государственный технических университет им. И. И. Ползунова»

В современном производстве используются полупроводниковые приборы, с преобладанием логических элементов. Часто уравнения, которые описывают эти устройства, на основе алгебры-логики, получаются сложные, и их нужно минимизировать, чтобы система автоматического управления имела меньшие габариты, стоимость и была более надежной [2]. В связи с этим, рассмотрим один из примеров минимизации.

Пусть имеем сумму, двучлен вида:

+                                                        (1)

Логическая структурная схема, реализующая эту формулу показана на (рисунке 1).

Рисунок 1 – Структурно-логическая схема

Таким образом эта система состоит из трех логических элементов.

Докажем, что уравнение (1) после минимизации будет иметь вид

                                                       (2)

То есть

                                       (3)

Если формулу (2) умножить на единицу, то она останется такой же

Если учесть, что (=1, то

                               (4)

Или, применив к формуле (7) распределительный закон, имеем

Таким образом уравнение (3) доказано, тогда структурно-логическая формула (3) при реализации на логических элементах примет вид (рисунок 2).

Рисунок 2 – Структурно-логическая схема

Из рисунков 1 и 2 видно, что после минимизации вместо 3 логических элементов используется 1 логических элемент.

Аналогичным образом докажем, что проделав предыдущие операции имеем

                                               (5)

или

Таким образом уравнение (5) доказано.

Еще один пример такого вида:

,

То есть,

.

Обозначив (a+b) через x имеем:

Тогда,

.

Докажем это логическое уравнение, учитывая, что:

,

Cделав обратную замену получаем

                               (6)

На основании выше изложенного, можно сформулировать следующее правило:

Если имеем двучлен, состоящий из суммы, в которой 1 слагаемое является свободным членом, в действительном или инверсном виде, и один из элементов второго слагаемого в виде произведения является свободным членом, записанном в инверсном (действительном) виде, то после минимизации имеется сумма двух членов, состоящая из первого слагаемого (свободного) члена и второго слагаемого без свободного члена [2].

Тогда в соответствии с приведенным правилом имеем следующие равносильности:

,

,

,

.

Таким образом современный этап математической логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирования схем, тем самым уменьшить число элементарных логических элементов, а также уменьшить стоимость и увеличить надежность.

Список использованных источников:

1. Шенфилд Дж. Математическая логика [Текст] : рук. разработчика : [пер. с англ.] / И. А. Лаврова и И. А. Мальцева под ред. Ю. Л. Ершова. : Наука, 1975 – 527 с.
2. Колмогоров А. Н. Введение В Математическую Логику [Текст] : Учеб. пособие для вузов / Колмогоров А. Н. Драгалин А. Г. М. : УРСС, 2013. −240 с. – ISBN 978-5354-01447-7
3. Никольская И. Л. Математическая логика [Текст]: учебник / И. Л. Никольская. − М.: Высш. школа, 1981.− С. 30.